Generatormatrix

In der Kodierungstheorie ist eine Generatormatrix, auch Erzeugermatrix, eine matrixförmige Basis für einen linearen Code, der alle möglichen Codewörter erzeugt. Ist G eine Generatormatrix für einen linearen [n, k]-Code C dann ist jedes Codewort c von C von der Form




c
=
w
G


{\displaystyle c=wG}
für einen eindeutigen Zeilenvektor w mit k Einträgen. Mit anderen Worten: Die Abbildung




K

1
×
k


→
C
,
w
↦
w
G


{\displaystyle K^{1\times k}\rightarrow C,w\mapsto wG}
ist eine Bijektion. Eine Generatormatrix für einen



[
n
,
k
]


{\displaystyle [n,k]}
-Code



C


{\displaystyle C}
hat das Format



k
×
n


{\displaystyle k\times n}
. Dabei ist n die Länge der Codewörter und k die Anzahl der Informationsbits (die Dimension von C). Die Anzahl der redundanten Bits ist r = n - k.
Die systematische Form für eine Generatormatrix ist




G
=


[




I

k



|

P



]




{\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}
wobei




I

k




{\displaystyle I_{k}}
eine k×k Einheitsmatrix und P von der Dimension k×r ist.
Eine Generatormatrix kann verwendet werden, um eine Kontrollmatrix für einen Code zu erzeugen (und umgekehrt).