Das totale Differential (auch vollständiges Differential) ist im Gebiet der Differentialrechnung eine alternative Bezeichnung für das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen total differenzierbaren Funktion
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
bezeichnet man mit
d
f
{\displaystyle {\rm {d}}f}
das totale Differential, zum Beispiel:
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
.
{\displaystyle {\rm {d}}f=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\rm {d}}x_{i}\,\,.}
Hierbei ist
M
{\displaystyle M}
eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt: ein „nicht-kursives d“ beim totalen Differential und ein „kursives d“ (
∂
{\displaystyle \partial }
) für die partiellen Ableitungen. Zu beachten ist, dass im Folgenden immer die totale Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird, und nicht nur die Existenz der partiellen Ableitungen, durch die
d
f
{\displaystyle {\rm {d}}f}
in der obigen Formel dargestellt wird.
Traditionell, und noch heute oft in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften, versteht man unter einem Differential wie
d
x
,
d
f
,
…
{\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} f,\dots }
eine infinitesimale Differenz.
Dagegen versteht man in der heutigen Mathematik unter einem totalen Differential eine Differentialform (genauer: eine 1-Form).
Diese kann man entweder als rein formalen Ausdruck auffassen oder als lineare Abbildung. Das Differential
d
f
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} f(x)}
einer Funktion
f
{\displaystyle f}
im Punkt
x
{\displaystyle x}
ist dann die lineare Abbildung (Linearform), die jedem Vektor
v
{\displaystyle v}
die Richtungsableitung von
f
{\displaystyle f}
am Punkt
x
{\displaystyle x}
in Richtung von
v
{\displaystyle v}
zuordnet. Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch totale Ableitung genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, in einem anderen Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern.