Ein Haar-Raum, oder Haarscher Raum (benannt nach Alfréd Haar) wird in der Approximationstheorie folgendermaßen definiert:
Besitzen
n
{\displaystyle n}
linear unabhängige, auf einem Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
stetige Funktionen
g
1
,
…
,
g
n
{\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}
die Eigenschaft, dass jedes Element
f
∈
s
p
a
n
{
g
1
,
…
,
g
n
}
,
f
≠
0
{\displaystyle {f}\in \mathrm {span} \left\{g_{1},\dots ,g_{n}\right\},f\neq 0}
, in
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
höchstens
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
Nullstellen hat, dann heißt die Menge
U
:=
s
p
a
n
{
g
1
,
…
,
g
n
}
{\displaystyle U:=\mathrm {span} \left\{g_{1},\dots ,g_{n}\right\}}
Haar-Raum.
Ein System solcher Funktionen
g
1
,
…
,
g
n
{\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}
, die einen Haar-Raum aufspannen, wird auch Haarsches System oder Tschebyschow-System genannt. Wird eine stetige Funktion durch Elemente eines Haar-Raumes approximiert, so existiert bezüglich der Maximumsnorm
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}
stets genau eine beste Approximation.