Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt) zu einem bestimmten Punkt
P
{\displaystyle P}
einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt.
Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung der Kurve in
P
{\displaystyle P}
. Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.
Da die Krümmung einer Kurve im Allgemeinen örtlich variiert, schmiegt sich der Krümmungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an. Er verläuft auf der einen Seite des Berührungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite außerhalb der Kurve
C
{\displaystyle C}
, er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand von
P
{\displaystyle P}
. Nur wenn die Krümmung der Kurve
C
{\displaystyle C}
bei dem vorgegebenen Punkt
P
{\displaystyle P}
ein Extremum hat, schmiegt sich der Kreis auf einer längeren Strecke der Kurve an die Kurve an und wechselt nicht die Kurvenseite; es gibt dann also keinen Schnittpunkt zwischen Kurve und Krümmungskreis.