Levi-Civita-Symbol

Das Levi-Civita-Symbol




ε


i

1



i

2


…

i

n






{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}
, auch Permutationssymbol, (ein wenig nachlässig) total antisymmetrischer Tensor oder Epsilon-Tensor genannt, ist ein Symbol, das in der Physik bei der Vektor- und Tensorrechnung nützlich ist. Es ist nach dem italienischen Mathematiker Tullio Levi-Civita benannt. Betrachtet man in der Mathematik allgemein Permutationen, spricht man stattdessen meist vom Vorzeichen der entsprechenden Permutation. In der Differentialgeometrie betrachtet man koordinatenunabhängig die Antisymmetrisierungsabbildung und den Hodge-Stern.
Die



n


{\displaystyle n}
Indizes




i

1




{\displaystyle i_{1}}
bis




i

n




{\displaystyle i_{n}}
haben Werte von 1 bis



n


{\displaystyle n}
. Haben zwei oder mehr Indizes denselben Wert, so ist




ε


i

1


…

i

n




=
0


{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=0}
. Sind die Werte der Indizes verschieden, so gibt das Symbol an, ob eine gerade (




ε


i

1


…

i

n




=
+
1


{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=+1}
) oder eine ungerade (




ε


i

1


…

i

n




=
−
1


{\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}=-1}
) Anzahl von Vertauschungen der Indizes nötig ist, um die Werte aufsteigend anzuordnen. Zum Beispiel ist




ε

132


=
−
1


{\displaystyle \varepsilon _{132}=-1}
, da eine einzige Vertauschung nötig ist, um 132 in die Reihenfolge 123 zu bringen.