Unter einer Elementarmatrix oder Eliminationsmatrix versteht man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, welche sich entweder durch die Änderung eines einzigen Eintrages oder durch Vertauschen zweier Zeilen von einer
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
-Einheitsmatrix
I
n
{\displaystyle I_{n}}
unterscheidet.
Die Matrixmultiplikation mit Elementarmatrizen führt zu den sogenannten elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen. Diese Matrixumformungen umfassen das Addieren des
α
{\displaystyle \alpha }
-fachen einer Zeile zu einer anderen, das Vertauschen von zwei Zeilen und das Multiplizieren einer einzelnen Zeile mit einem von Null verschiedenen Wert
γ
{\displaystyle \gamma }
. Multipliziert man eine
n
×
p
{\displaystyle n\times p}
-Matrix
A
{\displaystyle A}
von links mit einer Elementarmatrix, so entspricht das einer elementaren Zeilenumformung der Matrix
A
{\displaystyle A}
. Elementarmatrizen können auch von rechts an eine Matrix
A
{\displaystyle A}
multipliziert werden und entsprechen dann elementaren Spaltenumformungen von
A
{\displaystyle A}
.
Die Elementarmatrizen sind die Grundlage für den Gauß-Algorithmus. Mit ihnen kann ein lineares Gleichungssystem, welches in eine Matrix überführt wurde, auf Stufenform gebracht werden, um dann die Lösung des Systems nach speziellen Regeln abzulesen.