Die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde erstmals 1859 von Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe formuliert. Nachdem sie bereits im Jahr 1900 von David Hilbert auf seine Liste 23 wichtiger Jahrhundertprobleme gesetzt wurde, ist sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen worden. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt.
Einfach gesprochen sagt die Riemannsche Vermutung aus, dass sich die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … „möglichst zufällig“ verhält. Das sollte sich zum Beispiel dadurch äußern, dass die Abfolge der Ereignisse, dass eine Zahl eine gerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie zum Beispiel
6
=
2
⋅
3
{\displaystyle 6=2\cdot 3}
, oder eine ungerade Anzahl an Primfaktoren besitzt, wie
66
=
2
⋅
3
⋅
11
{\displaystyle 66=2\cdot 3\cdot 11}
, auf lange Sicht ein Verhalten aufweist, welches auch ein häufig wiederholter Münzwurf mit Kopf und Zahl haben könnte. Eine Theorie, welche die Riemannsche Vermutung löst und damit eine tiefere Erklärung für diese Zufälligkeit unter den Primzahlen liefern würde, könnte daher aus Sicht der Mathematiker ein fundamental neues Verständnis für Zahlen im Allgemeinen nach sich ziehen.
Übersetzt man dies in die
Fachsprache der analytischen Zahlentheorie, ist die Riemannsche Vermutung
äquivalent zu der Aussage, dass sämtliche komplexe Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen den Realteil 1⁄2 besitzen. Es ist schon bekannt und bewiesen, dass die Zeta-Funktion reelle Nullstellen
−
2
,
−
4
,
−
6
,
…
{\displaystyle -2,-4,-6,\dotsc }
hat (die sogenannten „trivialen“ Nullstellen), sowie unendlich viele nicht-reelle Nullstellen mit dem Realteil 1⁄2. Die Riemannsche Vermutung besagt also, dass es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt, d. h., dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden in der Zahlenebene parallel zur imaginären Achse liegen.
Die Riemannsche Vermutung ist sehr bedeutsam für die moderne Mathematik. Viele wichtige Beweise für eine Reihe bisher ungelöster Probleme, besonders aus der Zahlentheorie, könnten aus ihr gefolgert werden. Dies betrifft Probleme aus der Grundlagenforschung, wie etwa solche der Primzahlverteilung im Umfeld des Primzahlsatzes oder der offenen Goldbachschen Vermutung, als auch der angewandten Mathematik, wie schnelle Primzahltests. Gleichzeitig gilt sie auch als äußerst schwierig zu beweisen. Ein Grund hierfür ist, dass die Menschheit aus Expertensicht bisher nicht über die nötigen mathematischen Werkzeuge verfügt, sie überhaupt angreifen zu können. Bisherige Beweisversuche von prominenten Mathematikern scheiterten allesamt.
Durch umfassenden Einsatz von Computern ist es gelungen, die Riemannsche Vermutung für die ersten 10 Billionen Nullstellen der Zeta-Funktion zu verifizieren. Da es jedoch nachweislich unendlich viele nicht-reelle Nullstellen mit dem Realteil 1⁄2 gibt, könnte sie auf diese Weise nur durch Angabe eines expliziten Gegenbeispiels widerlegt, jedoch nicht bewiesen werden. Ein Gegenbeispiel wäre eine nicht-reelle Nullstelle im kritischen Streifen mit Realteil ungleich 1⁄2.