Ein normierter Raum oder normierter Vektorraum ist in der Mathematik ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist. Jeder normierte Raum ist mit der durch die Norm induzierten Metrik ein metrischer Raum und mit der durch diese Metrik induzierten Topologie ein topologischer Raum. Ist ein normierter Raum vollständig, so nennt man ihn einen vollständigen normierten Raum oder Banachraum. Ein normierter Raum kann von einem Prähilbertraum über die Skalarproduktnorm oder von einem Vektorraum mit Halbnorm als Faktorraum abgeleitet werden.
Normierte Räume sind ein zentrales Studienobjekt der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur partieller Differentialgleichungen und Integralgleichungen.