Eine natürliche Zahl
n
{\displaystyle n}
wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie gleich der Summe
σ
∗
(
n
)
{\displaystyle \sigma ^{*}(n)}
aller ihrer (positiven) Teiler außer sich selbst ist. Eine äquivalente
Definition lautet: Eine vollkommene Zahl
n
{\displaystyle n}
ist eine Zahl, die halb so groß ist wie die Summe aller ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h.
σ
(
n
)
=
2
n
{\displaystyle \sigma (n)=2n}
. Die kleinsten drei vollkommenen Zahlen sind 6, 28 und 496. Beispiel: Die positiven Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14, 28 und es gilt
1
+
2
+
4
+
7
+
14
=
28.
{\displaystyle 1+2+4+7+14=28.}
Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und von Mersenne-Primzahlen abgeleitet. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Schon in der griechischen Antike waren vollkommene Zahlen bekannt, ihre wichtigsten Eigenschaften wurden in den Elementen des Euklid behandelt. Alle geraden vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 8. Vollkommene Zahlen waren oft Gegenstand zahlenmystischer und numerologischer Deutungen.